Quit と stop はどちらも同じ意味の動詞ですから、入れ替えて使うことができます。どちらも、ある状態や行為を終わりにするという意味ですが、文脈によっては quit の方が適切である場合があります。
例えば悪い習慣をやめる、職を辞任する、挑戦していたことを止める、という時は Quit が使われることがほとんどです。

Quit と stopの違い
それぞれの使い方を例文で確認しましょう。
Stop 意味
行為や行動を止めること。
例文
話しを止めて、仕事に戻りなさい。
Are you drunk? Stop the car!
Quit 意味
Quit implies that a decision has been made to cease continuing a commitment or a habit.
例文
私は仕事を辞めました。
I quit smoking. I feel so much better. I will never smoke another cigarette in my life.
注意:それまでの習慣をやめるという時は、Stop も使えます。しかし Quit には、その習慣をもう繰り返さないというニュアンスがあります。stop にはそのようなニュアンスは含まれません。
I have stopped smoking, but all my friends smoke. I can see myself smoking again if I go out with my friends or if I get stressed.
1つの文で quit トstop の違いをくらべてみましょう。
I know you will not quit smoking, but you need to stop smoking in front of the kids. Please don’t smoke in the house when the kids are at home.
Quit には何かを続けるべきだったのにやめた、という否定的な感情を含むことが多くあります。
例文
息子はテニスをやめたがっているんだ。テニスの個人レッスンに何千ドルもかけたっていうのに。親が投資した時間とお金に感謝の気持ちもないんだよ。
My brother quit the gym after just two months. He doesn’t have a lot of willpower.
文法
習慣や責任あることをやめるという文脈での Quit と stop の使い方をみていきましょう。
両語の後ろには動名詞を伴うことができますが、後ろに名詞がある時は、ほとんどの場合 Quit しか使いません。
Quit
0 I quit smoking.
0 I quit my job.
Stop
0 I stopped smoking.
x I stopped my job.
下の例文でquit と stop の違いをみてみましょう。
私は仕事を辞めた。1週間前に仕事をやめたの。
練習
私は仕事を辞めた。1週間前に仕事をやめたの。
When did you quit smoking?
Can you stop saying that please?
I stopped taking English conversation lessons. Now, I just teaching myself English.
I quit learning the violin. It was too hard.
Stop biting your fingernails. It’s disgusting.
My son quit the soccer team. He didn’t like his coach.
If you quit now, I guarantee you will regret it when you’re older.
I’ve stopped going to the gym, but I think I’ll rejoin in the summer.
I quit the gym. It was too expensive and I couldn’t find the time to go.

